bu girdi bayes teoremi/#9355 nolu girdinin devamı niteliğindedir.
Aşağıdaki örneklerle daha iyi anlaşılabilecek teorem. Bu konuda kullanılan en yaygın örnek kanser testi örneğidir o yüzden o örnekle başlayacağım.
örnek 1) Geçmiş gözlemlere dayanarak, sizin yaş grubunuzdaki insanların %1’inde olduğu tahmin edilen bir kanser türü için bir test mevcut. Ancak hiçbir test tamamen güvenilir değildir ve bu testin güvenilirliği de %99. Endişelendiniz ve test yaptırmak istediniz. Sonucu pozitif çıktı. Gerçekten kanser olma olasılığınız nedir?
Çözüm:
Soruyu okuyunca cevap direkt olarak %99 gibi geliyor, çünkü testin güvenilirliği %99. Ancak kanıtın, önsel olasılığı güncellemesi gerektiğini düşünerek soruyu tekrar dikkatlice okursak şu bilgilere erişeceğiz:
önsel olasılık: sizin yaş grubunuzdaki birinin kanser olma olasılığı: %1 ya da 0.01
olabilirlik: kanser hastalığınız varsa testinizin pozitif çıkma olasılığı %99 ya da 0.99. Çünkü testin güvenilirliği %99.
kanıt: kanser olup olmanızın doğruluğu ile ilgilenmeden, testin pozitif çıkma olasılığı. (hatırlarsanız ilk girdide hipotezin doğruluğundan bağımsızdır demiştim.) yani başka bir deyişle, önsel olasılıkla true positive (gerçekten kanser ve testi pozitif) çarpımının, önsel olasılığın tersiyle false positive (gerçekte kanser değil ama testi pozitif) çarpımıyla toplamı bize kanıtı verecektir. Bu da;
0.01x0.99 + 0.99x0.01 = 0.0198 olarak hesaplanır.
sonsal olasılık= (önsel olasılık x olabilirlik)/kanıt = (0.01x0.99)/0.0198 = 0.5 olarak bulunur. Yani testiniz pozitif çıktıysa gerçekten kanser olma olasılığınız %50.
peki Neden böyle oldu?
Yaş grubunuzda 10000 kişi olduğunu varsayalım. Bunların 100’ü gerçekten kanserdir (%1). Test yapılırsa, test bu 100 kanserli hastanın 99’unu bulacak ancak birine hatalı negatif (false negative) verecektir. Gerçekte kanser olmayan 9900 kişinin ise 99’una hatalı pozitif (false positive) verecektir (çünkü %99 güvenilir, %1 hata payı var)
Şimdi elimizde kaç pozitif oldu: 99+99 = 198.
testi pozitif olan kaç gerçek kanser hastası var: 99
Yani testiniz pozitifse gerçekten kanser olma olasılığınız: 99/198 = %50
Soruya ilk bakışta testin güvenilirliğine bakarak %99 cevabı verenler aslında hatalı pozitifleri ve negatifleri hesaba katmadıkları için yanılıyorlar. Bayesçi yaklaşımla yeni bilgiyle önsel olasılığın güncellenmesi ise hatayı ortadan kaldırıyor.
Örnek 2) Birinci sorudaki gibi bir testi yaptırdınız ve sonuç pozitif çıktı. Aynı testi ikinci kez yaptırdınız ve yine pozitif çıktı. Bu kez gerçekten kanser olma olasılığınız nedir?
çözüm:
İlk soruda önsel olasılığı, yeni bilgilerle güncelleyerek sonsal olasılığı elde etmiştik. Bu sorudaki kritik nokta; bir kez test yaptırdıktan sonra, ikinci testte o sonsal olasılık artık önsel olasılık olur. Çünkü zaten kanser olma olasılığınızı hesapladınız ve ilk soruda verilen bilgiler ışığında bu önsel olasılık %1 iken artık %50.
şimdi güncel bilgilerle tekrar yazıyoruz:
önsel olasılık: %50 ya da 0.5
Olabilirlik: %99 ya da 0.99
Kanıt: testin pozitif çıkma olasılığı. Yine önsel olasılıkla true positive (gerçekten kanser ve testi pozitif) çarpımının, önsel olasılığın tersiyle false positive (gerçekte kanser değil ama testi pozitif) çarpımıyla toplamı bize kanıtı verir. Bu da;
0.5x0.99 + 0.5x0.01 = 0.4955
Sonsal olasılık: (önsel olasılık x olabilirlik)/kanıt = (0.5x0.99)/0.4955 = 0.495/0.4955 = 0.99899 = %99.9
Yani ilk testiniz pozitif çıktıktan sonra ikinci kez aynı testi yaptırıp, yine pozitif sonuç alırsanız %99.9 olasılıkla kansersiniz.
Bu örnek büyük oranda şuradan alınmıştır.
ama hemen hemen her yerde konuyla ilgili verilen ilk örnek kanser testidir zaten.
Örnek 3) Pikniğe gitmeyi planlıyorsunuz ama sabah hava kapalı. Geçmiş verilere dayanarak yağmurlu günlerin %50’sinin hava kapalı olduğunda olduğunu görüyorsunuz. Öte yandan tüm günlerin %40’ında ise sabahları hava kapalı. Ve bulunduğunuz ay içinde sadece 3 gün yağmur yağıyor, bu da o ay içinde bir gün yağmur yağma olasılığını %10 yapıyor.
O gün yağmur yağma olasılığı nedir?
çözüm:
Önsel olasılık: yağmur yağma olasılığı %10
Olabilirlik: yağmur yağmasının doğru olması halinde, havanın kapalı olma olasılığı: %50
Kanıt: yağmur yağsın ya da yağmasın havanın kapalı olma olasılığı. %40
bu soru direkt olarak teoremin basit formuna örnek oluşturuyor.
Sonsal olasılık = (önsel olasılık x olabilirlik)/kanıt = (0.1 x 0.5) x 0.4 = 0.125 = %12.5