bayes teoremi ünlü "o.j. simpson cinayet davası" olarak bilinen ünlü bir davada da kullanılmıştır. davanın tüm detaylarını yazmayacağım, isteyenler wikipedia linkinden erişebilir. tr.wikipedia.org/... ancak bilinmesi gereken nokta o.j. simpson'ın, eşi Nicole Brown Simpson'ı öldürmekle suçlanması ve daha önceden eşine şiddet uyguladığının bilinmesi.
davada, simpson'ın avukatlarından Dershowitz, geçmiş verilere bakarak eşine şiddet uygulamış olan erkeklerin yalnızca 1/2500'ünün sonradan eşini öldürdüğünü, dolayısıyla daha önce eşine şiddet uygulamış olmasının onu öldürmüş olması için makul bir kanıt olmadığını iddia eder. (bu sayılar birkaç farklı kaynakta farklı geçiyor. ama çok küçük bir olasılık olduğunu anlayın.)
ancak iddiasında dikkate almadığı ekstra bir bilgi vardır: nicole simpson'ın öldürülmüş olması olayı gerçekleşmiştir. bilgileri sıralayalım:
üç farklı olay (event) var. 1) eşin kocası tarafından öldürülmesi 2) eşin kocası tarafından şiddete uğraması 3) eşin öldürülmüş olması
simpson'ın avukatı birinci olayın, ikinci olaya koşullu olarak gerçekleşme olasılığını 1/2500 olarak vermişti zaten. ancak elimizde eşin öldürülmüş olduğu gerçeği (üçüncü olay) var. bu yüzden sonsal olasılığın "eğer kocası tarafından şiddete uğrayan bir kadın öldürüldüyse, kadının kocası tarafından öldürülmüş olması olasılığı" şeklinde bulunması lazım.
koşullu çoklu olaylar olduğu için bayes teoremi formülü çok karışık bir forma geliyor. o formun nasıl elde edildiğine değinmeyeceğim, ki zaten baya karışık. direkt sonuca gelirsek, tüm verileri yerine koyduklarında buldukları olasılık 8/9 civarında, yani "eğer kocası tarafından şiddete uğrayan bir kadın öldürüldüyse, öldüren kişi %88 olasılıkla kocasıdır". görsel olarak ağaca aktarım yardımıyla şu şekilde görülebilir. (bu arada tüm bayes soruları da ağaca aktarım yoluyla da çözülebilir ama ona da başka bir zaman değinirim artık.) sonucunda mahkeme süreci nasıl etkilendi bilmiyorum ama bu şekilde davada yer aldı bayes teoremi.
bu dava olayı dışında, adli genetik başta olmak üzere birçok adli olayda kullanılabilir bayes teoremi.
son olarak sözlük içi bir örnek vererek herkesin kafasında daha iyi canlanmasını istiyorum. soruyu kendim tasarladığımdan hata yapmamış olmayı umuyorum.
örnek: rainbow, sözlükte yazarlardan nude isteyip, onlardan aldığı nude'leri photoshop yardımıyla bdsm eserler haline getirerek bdsm kataloğu hazırlamaktadır. yıllarca yazdığı sözlükte bu sistemi sürdürdükten sonra başka bir sözlükte yazmaya başlar. yeni sözlükte rainbow dışında, üç yazar daha olduğunu varsayalım. (daha fazla da olabilir de işlemler uzamasın) kullanıcı isimleri sırasıyla: bachophile, laylomcu, kabizhipopotam
rainbow'un aynı anda sadece bir yazardan nude istediği ve yeni sözlüğünde henüz kimseden istemediği bilinmektedir. rainbow'un geçmiş nude isteme davranışları incelendiğinde, yeni yazmaya başladığı sözlükte bachophile kullanıcı adlı yazardan nude isteme olasılığı %80, laylomcu kullanıcı adlı yazardan nude isteme olasılığı %8, kabizhipopotam kullanıcı adlı yazardan nude isteme olasılığı %12 olarak tahmin edilmektedir.
bachophile kullanıcı adlı yazarın, bir başka yazar kendisinden nude istemesi halinde ona nude atma olasılığı %2'dir. laylomcu kullanıcı adlı yazarın, bir başka yazar kendisinden nude istemesi halinde ona nude atma olasılığı %20'dır. kabizhipopotam kullanıcı adlı yazarın, bir başka yazar kendisinden nude istemesi halinde ona nude atma olasılığı %12'dur.
rainbow, bir sonraki kataloğu yetiştirme derdine düşmüşken sözlükten nude istemeye karar verir. eğer rainbow'a nude atıldıysa, bunun hangi yazar tarafından atılmış olması en olasıdır?
çözüm:
soruyu dikkatli olarak okursanız bir koşullu olasılık sorusu olduğunu (nude atılması halinde...) ve yazarların nude gönderme olasılıklarının da koşullu olasılık olduğunu (nude istenmesi halinde...) görebiliriz. hemen soruda verilen bilgileri yazıyoruz.
önsel olasılıklar: rainbow'un yazarlardan nude isteme olasılıkları. p(a) bachophile için %80 ya da 0.8 laylomcu için %8 ya da 0.08 kabizhipopotam için %12 ya da 0.12
olabilirlikler: nude istenmesi halinde yazarların atma olasılıkları. p(b|a) bachophile için %2 ya da 0.02 laylomcu için %20 ya da 0.2 kabizhipopotam için %12 ya da 0.12
kanıt: kimin göndermesini istediğinden bağımsız olarak rainbow'a nude atılmış olma olasılığı. p(b) bachophile için: 0.8x0.02 = 0.016 laylomcu için: 0.08 x 0.2 = 0.016 kabizhipopotam için 0.12x0.12 = 0.0144
hepsini topladığımıza rainbow'a toplam nude gönderilme olasılığını buluyoruz ve bu da kanıt oluyor. 0.0464 yani %4.6
(gönderme olasılığı düşük kişiden istemesi daha olası olduğu için nude alma olasılığı hayli düşük oluyor haliyle. umarım okuyunca kızmaz.)
sonsal olasılıklar: p(a|b) geldik sorunun çözüm kısmına. her yazar için sırasıyla (önsel olasılık x olabilirlik)/kanıt işlemini yapacağız. bachophile için: (0.8x0.02)/0.0464 = 0.3448 = %34.5 laylomcu için: (0.08x0.2)/0.0464 = 0.3448 = %34.5 kabizhipopotam için: (0.12x0.12)/0.464 = 0.31 = %31
görüldüğü üzere rainbow'un sözlükteki bir yazardan nude göndermesini istemesi halinde, verilen bilgilerle, ona nude atılması olasılığı %4.6. nude atılması halinde atılan nude'nin bachophile'den ya da laylomcu'dan gelme olasılıkları eşit ve en olası durumlar.
